|
----
Dina [[tiori probabiliti]] sarta [[statistik]], '''varian''' tina [[variabel acak]] ngarupakeunmangrupa ukuran tina [[statistical dispersion]], nu nembongkeun sabaraha jauh tina [[nilai ekspektasi]] nu dijelaskeun di dieu.
'''Varian''' nilai-[[real number|real]] [[variabel acak]] ngarupakeunmangrupa [[momen mean]] nu kadua, ogeogé [[cumulant]] nu kadua (cumulants beda jeung central moments ngan dina tingkat 4 atawa saluhureunna).
== Harti ==
Lamun μ = E(''X'') ngarupakeunmangrupa [[nilai ekspektasi]] tina variabel acak ''X'', mangka varian nyaeta nyaéta
:<math>\operatorname{var}(X)=\sigma^2=\operatorname{E}((X-\mu)^2),</math>
contona, varian ngarupakeunmangrupa nilai ekspektasi kuadrat simpangan ''X'' tina meanméan-na sorangan. Jadi varian ngarupakeunmangrupa ''simpangan mean kuadrat''. Varian variabel random''X'' dituliskeun minangka var(''X'').
Catetan loba sebaran, saperti [[sebaran Cauchy]], teu ngabogaan varian sabab nyimpang tina integral. Dina hal sejenséjén, lamun sebaran teu ngabogaan nilai ekspektasi, mangka teu ngabogaan varian oge. Hal nu teu bener: sebaran ngabogaan nilai ekspektasi tapi teu ngabogaan varian.
== Sipat ==
Lamun varian dihartikeun, bisa disimpulkeun yenyén varian teu pernah negatip sabab kuadrat bakal positip atawa nol. Lamun metoda keur ngitung varian hasilna negatip, geus tangtu aya kasalahan, ilaharna dina nangtukeun algoritma. Satuan varian nyaetanyaéta kuadrat tina satuan sebaran. Mangka, varian tina susunan ukuran jangkung dina sentimeter nyaetanyaéta sentimeter kuadrat. Kanyataan ieu kurang merenah sarta statistikawan leuwih ilahar ngagunakeun akar varian, [[simpangan baku]] sarta ngagunakeun ieu nilai minangka kasimpulan dispersi.
Ieu bisa dibuktikeun sacara gampang tina harti yenyén varian moal gumantung kana nilai meanméan <math>\mu</math>. Dina hal ieu, lamun variabel "disimpen" antara ''b'' jadi ''X''+''b'', varian hasil variabel random beulah kenca teu kacekel. Sacara jelas, lamun variabel dikalikeun ku faktor skala ''a'', varian ngarupakeunmangrupa hasil kali nyaetanyaéta ''a<sup>2</sup>''. Sacara resmi, lamun ''a'' jeung ''b'' ngarupakeunmangrupa konstanta riil sarta ''X'' ngarupakeunmangrupa [[variabel acak]] mangka varian dihartikeun ku,
:<math>\operatorname{var}(aX+b)=a^2\operatorname{var}(X)</math>
[[Formula]] sejenséjén keur varian saperti dina garis lurus nu dumasar kana harti di luhur nyaetanyaéta:
:<math>\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2.</math>
Ieu ngarupakeunmangrupa rumus nu geus ilahar dipakedipaké keur ngitung varian dina kaperluan praktis.
Salah sahiji alesan varian leuwih sering dipakedipaké tinimbang ukuran [[statistical dispersion|dispersi]] sejennaséjénna nyaetanyaéta yenyén varian jumlah [[variabel acak]] bebasbébas sarua jeung jumlah varian-na. (Kaayaan nu leuwih lemah tinimbang bebasbébas, disebutna "uncorrelatedness" atawa taya hubungan). Sacara umum,
:<math>\operatorname{var}(X+Y) =\operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y)
+ 2 \operatorname{cov}(X, Y).</math>
Di dieu <math>\operatorname{cov}</math> nyaetanyaéta [[kovarian]], sarua jeung nol keur variabel nu taya hubungan.
== Populasi varian jeung sampel varian ==
Dina statistik, konsep varian ogeogé digunakeun keur ngajelaskeun susunan data. Waktu susunan data ngarupakeunmangrupa [[populasi]], mangka disebut ''populasi varian''. Waktu susunan data ngarupakeunmangrupa [[statistical sample|sample]], mangka disebutna ''sampel varian''.
Populasi varian tina populasi ''y<sub>i</sub>'' dimanadi mana ''i = 1, 2, ..., N'' dirumuskeun ku
:<math>\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N
\left( y_i - \mu \right) ^ 2,</math>
dimanadi mana <math>\mu</math> ngarupakeunmangrupa populasi meanméan. Dina praktek, waktu kaayaan populasi gede, geus ilahar yenyén teu mungkin manggihkeun nilai populasi varian nu pasti, sabab kawengku ku waktu, beayabéaya jeung sumber sejennaséjénna.
Metoda nu geus ilahar dipakedipaké keur estimasi populasi varian nyaetanyaéta [[sampling (statistics)|sampling]]. Waktu estimasi populasi varian ngagunakeun ''n'' [[random sample]]s ''x<sub>i</sub>'' dimanadi mana ''i = 1, 2, ..., n'', nuturkeun rumus di handap ieu ngarupakeunmangrupa [[bias (statistics)|unbiased]] [[estimator]]:
:<math>s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n
\left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2,</math>
dimanadi mana <math>\overline{x}</math> ngarupakeunmangrupa sampel meanméan.
Catetan yenyén ''n-1'' dina pembagi diluhur jelas beda jeung persamaan keur ngitung populasi varian. Sumber nu geus ilahar ngabingungkeun nyaetanyaéta watesan ''sampel varian'' jeung notasi ''s<sup>2</sup>'' bisa jadi nempo kana unbiased estimator sejenséjén tina populasi varian nu dirumuskeun di luhur, sarta kumaha cara mastikeun varian tina sampel, diitung ku ''n'' tinimbang ''n-1''.
Sacara rasa, ngitung varian ku ngabagi makemaké ''n'' tinimbang ''n-1'' mere hasil populasi varian ''underestimate''. Hal ieu sabab urang ngagunakeun sampel meanméan <math>\overline{x}</math> keur estimasu populasi meanméan <math>\mu</math>, nu teu dipikanyaho. <!-- TODO: explain further --> Dina prakten, keur ''n'' nu gede, bedana salawasna kurang ti hiji.
''Tempo oge [[algoritma keur ngitung varian]].''
== Generalisasi ==
Lamun ''X'' ngarupakeunmangrupa nilai-[[vector (spatial)|vector]]- variabel random, nu mibanda nilai dina''R''<sup>''n''</sup>, sarta dipinkanyaho minangka vektor kolom, mangka generalisasi sacara alami tina varian nyaetanyaéta E((''X'' − μ)(''X'' − μ)′), numana μ = E(''X'') sarta ''X'' ′ ngarupakeunmangrupa transpos ''X'', sarta jadi vektor baris. Varian ieu ngarupakeunmangrupa nonnegative-definite matriks kuadrat, umumna dianggap minangka [[covariance matrix]].
Lamun ''X'' ngarupakeunmangrupa nilai-kompleks variabel random, mangka varian nyaetanyaéta E((''X'' − μ)(''X'' − μ)<sup>*</sup>), numana ''X''<sup>*</sup> ngarupakeunmangrupa [[complex conjugate]] ''X''. Varian ieu ngarupakeunmangrupa angka riil nonnegative.
== Sajarah ==
* [http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/9.pdf Fisher's original paper] (pdf format)
[[CategoryKategori:Probability theory]]
[[CategoryKategori:Statistika]]
| 