Kovarian

Dina probability theory jeung statistik, covariance antara dua nilai-real variabel random X jeung Y, nu mibanda nilai ekspektasi E(X) = μ jeung E(Y) = ν dihartikeun ku:

$\operatorname {cov} (X,Y)=E((X-\mu )(Y-\nu )).$

Ieu sarua jeung rumus di handap nu ilahar dipaké keur ngitung dina kaayaan nu sabenerna:

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\mu \nu$

Keur vektor-kolom variabel random X jeung Y mibanda nilai μ jeung ν, sarta n jeung m komponen skalar, kovarian dihartikeun jadi matrik n×m

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu )^{\top }).$

Lamun X jeung Y bebas, mangka kovarian sarua jeung nol. Hal ieu sabab dina kaayaan bébas, E(X·Y) = E(X)·E(Y). Sabalikna, sanajan, teu bener: mungkin yén X sarta Y teu bébas, kovarian-na masih kénéh nol.

Lamun X jeung Y nilai-riil variabel random sarta c mangrupa konstanta ("konstanta", di hal ieu, hartina non-random), mangka nuturkeun kanyataan mangrupa akibat tina harti kovarian:

$\operatorname {cov} (X,X)=\operatorname {var} (X)$

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {cov} (Y,X)$

$\operatorname {cov} (cX,Y)=c\,\operatorname {cov} (X,Y)$

$\operatorname {cov} \left(\sum _{i}{X_{i}},\sum _{j}{Y_{j}}\right)=\sum _{i}{\sum _{j}{\operatorname {cov} \left(X_{i},Y_{j}\right)}}$

Keur nilai-vektor variabel random, cov(X, Y) sarta cov(Y, X) masing-masing transpos.

Kovarian kadangkala disebut ukuran "linear bebas" antara dua variabel random. Ieu teu frase lain sarua hartina yén harti nu leuwih formal dina aljabar linier (tempo linear dependence), sanajan hartina henteu pakait. Correlation mangrupa konsép pakait nu raket dipaké keur ngukur tingkat kabébasan dua variabel.