Sebaran gamma

Dina tiori probabiliti jeung statistik, sebaran gamma nyaéta probability distribution kontinyu. Probability density function bisa digambarkeun di watesan fungsi gamma:

$f(x)=x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\ \ \ \ \mathrm {for\ } x>0$

nu mana k > 0 nyaéta parameter bentuk jeung θ > 0 nyaéta parameter skala sebaran gamma .

Cumulative distribution function bisa ditembongkeun dina watesan incomplete gamma function,

$F(x)=\int _{0}^{x}f(u)\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}$

Nilai ekspektasi sarta varian tina variabel random gamma X nyaéta:

${\begin{matrix}E(X)=k\theta \\\\\mathrm {var} (X)=k\theta ^{2}\end{matrix}}$

Lamun $X_{1}$ mibanda sebaaran gamma mibanda paraméter $k_{1}$ jeung θ, sarta $X_{2}$ mibanda sebaran gamma mibanda paramater $k_{2}$ jeung θ, mangka $X_{1}+X_{2}$ mibanda sebaran gamma mibanda paraméter $k_{1}+k_{2}$ jeung θ.

Lamun k sarua jeung 1, sebaran gamma mangrupa sebaran eksponensial mibanda paraméter θ. Jumlah n variabel eksponensial, sakabéhna mibanda paraméter θ nu sarua, mangrupa variabel gamma nu mibanda paraméter n jeung θ.

Lamun k mangrupa integer, sebaran gamma mangrupa Erlang distribution (keur ngahargaan ka A.K. Erlang) sarta sebaran probabiliti waktu tunggu tina nu-k "datang" dina hiji-dimensi Poisson process nu mibanda intensitas 1/θ.

Lamun k mangrupa satengah-integer sarta θ = 2, mangka sebaran distribution mangrupa sebaran chi-kuadrat nu mibanda 2 k tingkat kabébasan.

Sebaran gamma mangrupa sebaran probabiliti infinitely divisible .

Sumber sejen

• R.V. Hogg and A.T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics, 4th edition. New York: Macmillan, 1978. (See Section 3.3.)