Variabel acak

Variabel acak bisa disebut hasil operasi analisa numerik non-deterministik atawa "nga-bentuk" percobaan non deterministik keur ngahasilkeun hasil acak. Conto, ngagorolongkeun duit receh jeung ngarekam hasilna dina variabel random nu hasilna { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Milih jalma sacara acak jeung ukur jangkungna mangrupa conto séjén tina variabel acak.

Sacara matematik, variabel acak dihartikeun hiji fungsi ukuran tina rohangan probabiliti keur ukuran rohangan. Ukuran rohangan nyaéta nilai variabel ruang nu mungkin, umumna dicokot keur dijadikeun wilangan riil nu mibanda Borel σ-algebra, sarta bakal salawasna dipaké dina ieu ensiklopedia, iwal tina dina hal husus.

Fungsi Distribusi

Lamun variabel acak X:Ω->R aya dina ruang probabiliti (Ω, P) dibérékeun, urang bisa nanyakeun saperti kieu "Sabaraha mungkin nilai X leuwih gedé tinimbang 2?". Ieu sarua jeung kamungkinan kajadian {s dina Ω : X(s) > 2} nu salawasna ditulis P(X > 2) keur nyingketna.

Sakabéh rekaman rentang hasil kamungkinan tina nilai-réal variabel random X bakal ngahasilkeun sebaran probabilitas X. Sebaran kamungkinan "poho" ngeunaan bagéan ruang probabiliti dipaké keur ngartikeun X jeung ngan direkam dina variasi nilai X. Saperti sebaran kamngkinan salawasna kawengku dina fungsi kumulatif sebaran

$F_{X}(x)=\operatorname {P} (X<x)$

sarta kadangkala maké ogé fungsi probabilitas densitas. Dina watesan teori ukuran, dipaké variabel acak X keur "dorong-hareup" ukuran P dina Ω kana ngukur dF dina R. Dina kaayaan ruang probabiliti Ω mangrupa alat tenis dipaké keur ngajamin ayana variabel acak sarta kadang-kadang keur nyusunna. Dina kaperluan praktis, leuwih ilahar dina sakabéh ruang Ω sarta nyimpen hiji ukuran dina R nu nangtukeun ukuran 1 ka sakabéh garis rill, contona dipaké dina sebaran probabiliti keur gaganti variabel acak.

Fungsi variabel acak

Lamun urang ngabogaan variabel random X on Ω jeung hiji fungsi ukuran f:R->R, maka Y=f(X) ogé jadi variabel random dina Ω, salila fungsi komposisi ukuran bisa diukur. Sababaraha prosedur ngijinkeun keur ngarobah tina ruang probabiliti (Ω,P) kana (R,dF_X) bisa dipaké keur nangtukeun sebaran probabiliti Y. Fungsi sebaran kumulatif Y nyaéta

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (f(X)<y).$

Conto

Anggap X nilai-riil variabel acak sarta anggap Y = X². Mangka,

$F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}<y).$

Lamun y < 0, mangka P(X² ≤ y) = 0, mangka

$F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.$

Lamun y ≥ 0, mangka

$\operatorname {P} (X^{2}<y)=\operatorname {P} (|X|<{\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}<X<{\sqrt {y}}),$

mangka

$F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.$

Momen

Sebaran probabiliti variabel random salawasna dicirikeun ku jumlah paramater nu saeutik, ogé mibanda interpretasi praktis, contona cukup nyaho "nilai average". Hal ieu kawengku ku konsép matematik nilai ekspektasi variabel random, dilambangkeun ku E[X]. Catetan yén ilaharna , E[f(X)] teu sarua jeung f(E[X]). Lamun "nilai average" dipikanyaho, mangka sabaraha jauh tipikal nilai X tina nilai average bisa dijawab ku varian sarta simpangan baku variabel random.

Sacara matematik, ieu disebutna (generalisasi) masalah momen: keur kelas variabel random X nu dibéré, téangan fungsi kumpulan {f_i} saperti nilai ekspektasi E[f_i(X)] nu sakabéhna nyirikeun distribusi variabel random X.

Kasaruaan variabel acak

Aya sababaraha béda harti dina variabel acak nu bisa dianggap sarua. Dua variabel acak bisa sarua, yakin sarua, sarua dina méan atawa sarua dina sebaran.

Dina raraga leuwih ngajéntrékeun, di handap ieu sababaraha hal ngeunaan kasaruaan dijéntrékeun.

Sarua dina sebaran

Dua variabel acak X jeung Y sarua dina sebaran lamun

$\operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\hbox{keur sakabeh}}\quad x.$

Bakal sarua dina sebaran, variabel acak teu perlu kapanggih dina rohang probabilitas nu sarua, tapi teu kaleungitan kailaharan nu bisa dijieun kana variabel acak dina rohang probabilitas nu sarua. Lambang nu sarua di sebaran pakait jeung lambang jarak saterusna antara sebaran probabilitas,

$d(X,Y)=\sup _{x}|\operatorname {P} (X\leq x)-\operatorname {P} (Y\leq x)|,$

nu mana dumasar kana uji Kolmogorov-Smirnov.

Sarua dina mean

Dua variabel acak X jeung Y sarua dina mean ka-p lamun momen ka-p |X − Y| sarua jeung enol, nyaéta,

$\operatorname {E} (|X-Y|^{p})=0.$

Kasaruaan dina méan ka-p nyababkeun kasaruan dina méan ka-q keur sakabéh q<p. Saperti dina kasus saméméhna, hal ieu jarak pakait antara variabel acak, dingaranan

$d_{p}(X,Y)=\operatorname {E} (|X-Y|^{p}).$

Ampir pasti sarua

Dua variabel acak X jeung Y ampir pasti sarua lamun, ngan jeung lamun, probabilitasna béda ti enol:

$\operatorname {P} (X\neq Y)=0.$

Keur sakabéh kaperluan praktis dina téori probabilitas, notasi kasaruaan ieu sarua kuatna jeung sarua dina sabenerna. Hal ieu pakait jeung jarakna:

$d_{\infty }(X,Y)=\sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,$

nu mana 'sup' dina kasus ieu ngagambarkeun essential supremum dina pamadegan teori ukuran.

Kasaruaan

Tungtungna, dua variabel acak X jeung Y disebut sarua lamun maranéhna sarua salaku fungsi dina rohang probabilitas, nyaéta,

$X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{keur sakabeh}}\quad \omega$

Konvergen

Loba statistik matematik nu kabuktian konvergen keur sekuen nu ditempo dina variabel acak; tempo hukum wilangan loba jeung teorema limit tengah.

Aya sababaraha itungan nu mana unggal hiji (X_n) variabel acak bisa konvergen kana variabel acak X. Ngeunaan hal ini dijéntrékeun dina artikel Konvergen variabel acak.

Conto

Di handap ieu mangrupa conto tina integer random i, 1 ≤ i ≤ 100:

17 12 17 89 64 4 62 6 82 80 61 100 19 7 35 4 23 43 49 69 4 81 64 52 33 59 56 56 46 25 2 44 34 73 58 48 94 18 65 47 73 16 69 26 26 65 35 65 64 2 59 36 52 77 52 14 79 42 71 82 60 28 72 96 77 72 78 58 71 44 99 41 41 80 53 67 7 66 49 86 94 85 47 27 1 6 86 50 32 26 60 79 94 53 72 98 78 46 73 50 49 3 77 57 56 23 20 70 1 58 42 72 16 84 96 44 42 76 19 71 57 17 34 66 68 63 100 37 38 68 52 52 42 86 15 53 76 59 43 94 67 21 74 73 85 16 12 45 57 7 4 22 23 74 15 63 80 65 76 88 39 39 100 96 85 64 16 55 62 50 71 27 48 95 96 30 65 33 71 50 39 1 70 99 55 74 2 74 98 48 99 90 28 66 41 17 80 35 8 30 85 41 68 18 46 86 91 40 20 43 71 95 48 40 79 88 77 49 81 52 15 8 11 51 26 99 8 28 37 47 37 17 30 27 39 33 65 8 31 73 48 96 41 78 9 89 72 16 61 48 73 90 39 34 7 41 1 87 48 83 41 64 61 47 71 2 35 66 74 29 74 7 61 22 46 46 4 59 23 79 33 7 31 41 54 63 91 81 58 66 83 24 37 84 16 55 9 52 92 69 44 27 57 38 70 37 33 23 24 18 74 20 87 73 28 85 34 31 76 25 6 38 15 73 16 79 83 94 21 52 34 19 66 5 97 33 100 63 36 100 4 63 84 8 21 21 92 60 72 22 25 80 23 8 10 10 63 44 14 86 47 17 45 4 18 21 44 27 88 10 92 90 27 54 73 68 13 15 68 31 4 83 46 97 97 32 12 66 66 87 100 75 99 75 73 16 86 90 66 51 59 80 87 40 35 21 76 65 74 73 26 41 17 67 88 54 42 62 98 78 19 29 60 79 19 76 13 95 68 76 86 47 91 23 25 50 57 27 97 30 16 82 5 7 31 72 64 18 32 100 54 18 51 66 38 74 91 75 41 81 21 32 96 78 90 9 82 21 84 80 65 72 52 17 81 50 1 90 14 45 11 76 91 31 20 93 30 30 66 10 20 37 89 3 71 35 96 82 11 4

---

Tempo ogé

• discrete random variable, continuous random variable, probability distribution, randomness, random vector, random function, generating function