Simpangan baku

Dina probabilitas jeung statistika, simpangan baku biasa digunakeun keur ngukur statistical dispersion. Simpangan baku dihartikeun ogé akar kuadrat tina varian. Hal ieu dimaksudkeun keur ngukur "dispersi" nyaéta 1) angka non-négatif; jeung 2) miboga unit nu sarua jeung datana.

Bisa dibédakeun antara simpangan baku σ (sigma) tina populasi atawa variabel acak, jeung simpangan baku s tina sampel. Rumusna dijelaskeun di handap.

Watesan simpangan baku dina statistik mimiti dikenalkeun ku Karl Pearson (On the dissection of asymmetrical frequency curves, 1894).

Interprétasi jeung Pamakéan

Sacara gampang, simpangan baku nyebutkeun sabaraha jauh unggal anggota sampel atawa populasi tina nilai mean sampel atawa populasi. Nilai simpangan baku anu gedé nunjukkeun yén anggota anggota nu dimaksud jauh tina mean. Nilai simpangan baku leutik nunjukkeun yén anggota nu dimaksud raket atawa aya sabudeureun mean.

Conto, susunan {0,5,9,14} jeung {5,6,8,9} mibanda nilai mean 7, tapi nilai susunan data nu kadua mibanda nilai simpangan baku anu leuwih leutik.

Simpangan baku ogé biasa dipaké keur ngukur kateupastian. Conto dina elmu fisika, waktu ngalakukeun "pengulangan" measurements simpangan baku tina pengukuran nyaéta precision tina éta pengukuran. Waktu keur mutuskeun yén ukuran sarua jeung prediksi, ukuran simpangan baku mangrupa hal anu kacida pentingna: lamun ukuran kacida jauhna tina prediksi (ku jarak ukuran simpangan baku), bisa dianggap yén ukuran patojaiah jeung prediksi. Hal ieu ngajadikeun pamikiran yén rentang nilaina kaluar tina anu diperkirakeun lamun prediksina bener. Tempo prediction interval.

Harti jeung cara pondok ngukur simpangan baku

Anggap nilai tina hiji populasi x₁,...,x_N (nu mangrupa wilangan riil). Mean populasi dirumuskeun ku

{\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}

(tempo kumpulan notasi) sarta simpangan baku populasi dirumuskeun ku

\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}

Cara gampang ngitung simpangan baku dina jumlah nu sarua dirumuskeun ku

\sigma ={\sqrt {{\sum _{i=1}^{N}{{x_{i}}^{2}} \over {N}}-\left({\sum _{i=1}^{N}{x_{i}} \over {N}}\right)^{2}}}

Simpangan baku variabel acak X dihartikeun ku

\sigma ={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} X)^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}

Catetan yén teu sakabéh variabel random mibanda simpangan baku, lamun nilai ekspektasi euweuh. Lamun variabel random X dicokot tina nilai x₁,...,x_N ku probabiliti nu sarua, simpangan baku bisa diitung maké rumus saméméhna.

Dina kaayan nilai sampel x₁,...,x_n ti populasi nu gedé, sababaraha pangarang ngartikeun sampel simpangan baku ku

s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}

Alesan keur harti ieu yén s² mangrupa unbiased estimator keur varian σ² ti populasi. Catetan s sorangan lain unbiased éstimator keur simpangan baku σ; hal ieu cenderung underestimate ti populasi simpangan baku.

Aturan keur data sebaran normal

Dina praktékna, biasa diasumsikeun yén data ngabogaaan sebaran normal. Lamun asumsi ieu bisa diyakinkeun, mangka nilai 68% dina 1 simpangan baku jauh tina méan, nilai 95% dina dua simpangan baku jauh tina méan, sarta nilai 99.7% nutupan di jero 3 simpangan baku tina méan. Ieu dikanyahokeun salaku "aturan 68-95-99.7".

Hubungan simpangan baku jeung mean

Méan jeung simpangan baku tina susunan data mangrupa hal nu raket sarta umumna ditulis babarengan. Hal nu penting, simpangan baku nyaéta ukuran "alami" dispersi statistik lamun pusat data diukur ku méan. Rumus pastina nyaéta: suppose x₁,...,x_N are réal numbers and define the function

\sigma (r)={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-r)^{2}}}

Ngagunakeun kalkulus, teu hésé keur nembongkeun yén σ(r) mibanda unique minimum keur

r={\overline {x}}

Interpretasi geometrik

Keur ngarti géometri leuwih jéntré, urang mimitian ku populasi tina tilu nilai, x₁,x₂,x₃. Hartina yén titik P= (x₁,x₂,x₃) aya dina R³. Anggap garis L = {(r,r,r) : r aya dina R}. Ieu mangrupa "diagonal utama" nu ngaliwatan aslina. Lamun tilu nilai tadi sarua, mangka simpangan baku sarua jeung nol sarta P bakal nutupan L. Mangka taya alesan ke nganggap simpangan baku pakait jeung jarak P ka L. Ieu mangrupa kasus nu bener. Pindah ortogonalitas ti P kana garis L, salah sahiji titik sasaran

R=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})

nu mana kordinat nilai méan dimimitian. Aljabar sederhana nunjukkeun yén jarak antara P jeung R (hartina sarua jeung jarak antara P jeung garis L) dirumuskeun ku σ√3. Rumus analogna (3 digantikeun ku N) ogé valid keur populasi nilai N values; mangka saterusna dinaR^N.

Simpangan baku salaku tingkat kapercayaan

Dina percobaan ilmiah, hiji kapercayaan tina ukuran kajadian mangrupa hasil tina signal tinimbang ngan sakadar tina ramalan statistik. Mangka luhurna tingkat kapercayaan, mangrupa ukuran kajadian tinimbang ramalan.