Siksikan congcot

Dina matematika, siksikan congcot atawa keureutan congcot nyaéta lokus ti sakabéh titik anu ngabentuk kurva dua-diménsi, anu kabentuk ku siksikan tina hiji congcot ku hiji widang. Tilu jenis kurva anu mungkin bisa kawangun nyaéta Parabola, Élips, jeung Hiperbola. Apollonius ti Perga mangrupa matematikawan Yunani anu munggaran nalungtik siksikan congcot sacara sistematik dina awal abad ka-2 SM.

Jinis pasingan congcot:
1: Bunderan 2: Elips
3: Parabola 4: Hiperbola

Tabél Cylopedia

Géometri

Géometri siksikan congcot jeung jinis-jinisna

Lamun hayang ngarti kana géometri siksikan congcot, hiji congcot dianggap mibanda dua kulit anu ngawentang nepi ka teu kacumpon di dua-dua arah. Hiji generator mangrupa hiji gurat anu bisa dijieun dina kulit congcot, tur kabéh generator silih papotong-potong dina hiji titik anu disebut vértéks congcot.

Jinis-jinis siksikan congcot

Lamun hiji widang ngeureut congcot sajajar jeung hiji atawa hiji generator wungkul, mangka siksikanna téh parabola. Lamun widang panyiksik sajajar jeung dua generator, mangka siksikannana bakal motong kulit dua-duana jeung ngabentuk hiji hiperbola. Hiji élips kawangun upama widang panyiksikna teu sajajar jeung generator anu mana waé. Bunderan mah kasus husus dina élips, anu kawangun lamun widang panyiksik motong kabéh generator jeung panceg lempeng sumbu congcot.

Kasus dégenerasi

Kasus-kasus dégenerasi bakal kajadian lamun widang-widang panyiksik ngaliwatan vértéks congcot. Keureutan-keureutanna bisa mangrupa titik, gurat lempeng, jeung dua gurat lempeng anu silih papotong-potong. Hiji titik kacipta lamun widang panyiksik ngaliwatan vértéks congcot namung henteu motong generator saeutik-eutik acan. Kasus ieu mangrupa élips anu kadégenerasi. Upama widang panyiksik ngaliwatan vértéks congcot, jeung ngan aya hiji generator, mangka anu bakal kajadian nyaéta hiji gurat lempeng, jeung mangrupa parabola anu kadégenerasi. Hiji hiperbola kadégenerasi lamun widang panyiksik ngaliwat kana vértéks congcot jeung dua generator nepikeun méréan dua gurat lempeng anu silih papotong-potong.

Geometri analitis

Sacara géometri analitis, siksikan congcot bisa diwangenankeun minangka:

perenahna kalungguhan titik-titik dina hiji widang, sakituna, nepikeun jarak titik-titik éta kana hiji titik tetep F (anu disebut fokus) mibanda rasio anu puguh kana jarak titik-titik éta ka hiji gurat tetep L (disebut diréktriks) anu teu ngandung F.

Ékséntrisitas nyaéta rasio antara FP jeung P'P.Élips (e=1/2), parabola (e=1) jeung hiperbola (e=2) kalawan fokus (F) jeung diréktriks anu angger.

Rasio anu puguh éta disebut ékséntrisitas, dilambangkeun ku e, jeung mangrupa wilangan non-négatip. Pikeun e = 0, siksikan congcot éta téh nyaéta bunderan, 0 < e < 1 hiji élips, e = 1 hiji parabola, jeung e > 1 hiji hiperbola.

Koordinat Kartésius

Dina koordinat kartésius, grafik tina pasaruaan kuadrat jeung dua variabel osok ngahasilkeun siksikan congcot, jeung kabéh siksikan congcot bisa dihasilkeun maké cara ieu.

Upama nyampak pasaruaan kuadrat anu bentukna:

$ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0$

mangka:

• Lamun h² = ab, pasaruaan ieu ngahasilkeun parabola.
• Lamun h² < ab, pasaruaan ieu ngahasilkeun elips.
• Lamun h² > ab, pasaruaan ieu ngahasilkeun hiperbola.
• Lamun a = b dan h = 0, pasaruaan ieu ngahasilkeun bunderan.
• Lamun a + b = 0, pasaruaan ieu ngahasilkeun hiperbola pasagi.

Bentuk pasaruaan umum

Bentuk pasaruaan umum minangka:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

kacindekan:

• Lamun A = B = 0 mangka pasaruaanna mangrupa gurat lempeng/linear
• Lamun A = B = 0 tapi teu duanana mangka pasaruaanna mangrupa parabola/kuadrat
• Lamun A = B mangka pasaruaanna mangrupa bunderan
• Lamun A ≠ B jeung tandana positip mangka pasaruaanna mangrupa élips
• Lamun A ≠ B jeung tandana négatip mangka pasaruaanna mangrupa hiperbola

Saliwat siksikan congcot

Bunderan

Titik puseur (0,0): $x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Titik puseur (h,k): $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ atawa $x^{2}+2hx+h^{2}+y^{2}+2ky+k^{2}-r^{2}=0$

dengan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ mangka $A=2h,B=2ksartaC=h^{2}+k^{2}-r^{2}$

Parabola

	Vértikal	Horisontal
	Titik puseur (0,0)
Pasaruaan	$x^{2}=4py$	$y^{2}=4px$
Sumbu simétri	sumbu y	sumbu x
Fokus	$F(0,p)$	$F(p,0)$
Diréktris	$y=-p$	$x=-p$
	Titik puseur (h,k)
Pasaruaan	$(x-h)^{2}=4p(y-k)$	$(y-k)^{2}=4p(x-h)$
Sumbu simétri	$x=h$	$y=k$
Fokus	$F(h,k+p)$	$F(h+p,k)$
Diréktris	$y=k-p$	$x=h-p$

Élips

	Vértikal	Horisontal
	Titik puseur (0,0)
Pasaruaan	${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
Panjang sumbu mayor	$2a$	$2a$
Panjang sumbu minor	$2b$	$2b$
Panjang Latus Réktum	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$
Fokus	$F(0,\pm c)$	$F(\pm c,0)$
Puncak	$P(0,\pm a)$	$P(\pm a,0)$
Diréktris	$y=\pm {\frac {a^{2}}{c}}$	$x=\pm {\frac {a^{2}}{c}}$
Ékséntrisitas	$e={\frac {c}{a}}$	$e={\frac {c}{a}}$
	Titik puseur (h,k)
Pasaruaan	${\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1$	${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$
Panjang sumbu mayor	$2a$	$2a$
Panjang sumbu minor	$2b$	$2b$
Panjang Latus Réktum	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$
Fokus	$F(h,k\pm c)$	$F(h\pm c,k)$
Puncak	$P(h,k\pm a)$	$P(h\pm a,k)$
Diréktris	$y=\pm {\frac {a^{2}}{c}}$	$x=\pm {\frac {a^{2}}{c}}$
Ékséntrisitas	$e={\frac {c}{a}}$	$e={\frac {c}{a}}$

anu mana $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

Hiperbola

	Vértikal	Horisontal
	Titik puseur (0,0)
Pasaruaan	${\frac {x^{2}}{b^{2}}}-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
Panjang sumbu mayor	$2a$	$2a$
Panjang sumbu minor	$2b$	$2b$
Panjang Latus Réktum	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$
Fokus	$F(0,\pm c)$	$F(\pm c,0)$
Puncak	$P(0,\pm a)$	$P(\pm a,0)$
Asimtot	$y=\pm {\frac {a}{b}}x$	$y=\pm {\frac {b}{a}}x$
Ékséntrisitas	$e={\frac {c}{a}}$	$e={\frac {c}{a}}$
	Titik puseur (h,k)
Pasaruaan	${\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}=1$	${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$
Panjang sumbu mayor	$2a$	$2a$
Panjang sumbu minor	$2b$	$2b$
Panjang Latus Rectum	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$	$L={\frac {2b^{2}}{a}}$
Fokus	$F(h,k\pm c)$	$F(h\pm c,k)$
Puncak	$P(h,k\pm a)$	$P(h\pm a,k)$
Asimtot	$(y-k)=\pm {\frac {a}{b}}(x-h)$	$(y-k)=\pm {\frac {b}{a}}(x-h)$
Eksentrisitas	$e={\frac {c}{a}}$	$e={\frac {c}{a}}$

di mana $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Pasaruaan gurat toél

ngagradién $m$ ($y=mx+c$)

	Vértikal	Horisontal
	Titik puseur (0,0)
Bunderan	$y=mx\pm r{\sqrt {1+m^{2}}}$
Parabola	$y=mx-pm$	$y=mx+{\frac {p}{m}}$
Elips	$y=mx\pm {\sqrt {b^{2}+a^{2}m^{2}}}$	$y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}+b^{2}}}$
Hiperbola	$y=mx\pm {\sqrt {b^{2}-a^{2}m^{2}}}$	$y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}-b^{2}}}$
	Titik puseur (h,k)
Bunderan	$(y-k)=m(x-h)\pm r{\sqrt {1+m}}$
Parabala	$(y-k)=m(x-h)-pm$	$(y-k)=m(x-h)+{\frac {p}{m}}$
Élips	$(y-k)=m(x-h)\pm {\sqrt {b^{2}+a^{2}m^{2}}}$	$(y-k)=m(x-h)\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}+b^{2}}}$
Hiperbola	$y=mx\pm {\sqrt {b^{2}-a^{2}m^{2}}}$	$y=mx\pm {\sqrt {a^{2}m^{2}-b^{2}}}$

Lamun pasaruaan gurat lempeng ngagradién sajajar mangka $m_{2}=m_{1}$

Lamun pasaruaan gurat lempeng ngagradién panceg lempeng mangka $m_{2}={\frac {-1}{m_{1}}}$

ngaliwatan titik $(x_{1},y_{1})$

ku cara bagi adil

	Vertikal	Horisontal
	Titik puseur (0,0)
Bunderan	$xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$
Parabola	$xx_{1}=2py+2py_{1}$	$yy_{1}=2px+2px_{1}$
Élips	${\frac {xx_{1}}{b^{2}}}+{\frac {yy_{1}}{a^{2}}}=1$	${\frac {xx_{1}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{1}}{b^{2}}}=1$
Hiperbola	${\frac {xx_{1}}{b^{2}}}-{\frac {yy_{1}}{a^{2}}}=1$	${\frac {xx_{1}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{1}}{b^{2}}}=1$
	Titik puseur (h,k)
Bunderan	$(x-h)(x_{1}-h)+(y-k)(y_{1}-k)=r^{2}$ atawa $xx_{1}+yy_{1}+{\frac {1}{2}}Ax+{\frac {1}{2}}Ax_{1}+{\frac {1}{2}}By+{\frac {1}{2}}By_{1}+C=0$
Parabola	$(x-h)(x_{1}-h)=2p(y-k)+2p(y_{1}-k)$	$(y-k)(y_{1}-k)=2p(x-h)+2p(x_{1}-h)$
Élips	${\frac {(x-h)(x_{1}-h)}{b^{2}}}+{\frac {(y-k)(y_{1}-k)}{a^{2}}}=1$	${\frac {(x-h)(x_{1}-h)}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)(y_{1}-k)}{b^{2}}}=1$
Hiperbola	${\frac {(x-h)(x_{1}-h)}{b^{2}}}-{\frac {(y-k)(y_{1}-k)}{a^{2}}}=1$	${\frac {(x-h)(x_{1}-h)}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)(y_{1}-k)}{b^{2}}}=1$

Lamun titik $(x_{1},y_{1})$ nyampak di jero bentukna mangka aya 1 pasaruaan gurat toél (1 léngkah).

Lamun titik $(x_{1},y_{1})$ nyampak di luar bentukna mangka aya 2 pasaruaan gurat toél (2 léngkah).

Conto:

Titik puseur (0,0)

• Tangtukeun pasaruaan gurat toél anu ngagradién 2 kana $y^{2}=16x$!

jawab:

$y^{2}=16x->y^{2}=4(4x)jadip=4$

$y=2x+{\frac {4}{2}}->y=2x+2$

• Tangtukeun pasaruaan gurat toél anu ngaliwatan (4,8) kana $y^{2}=16x$!

jawab:

$y^{2}-16x=0mangkaasupkeun(4,8)(8)^{2}-16(4)=0=0$ (jero)

ku cara bagi adil

$yy_{1}=2px+2px_{1}$

$8y=8x+8(4)$

$8y=8x+32$ (dibagi 8)

$y=x+4$

• Tangtukeun pasaruaan gurat toél anu ngaliwatan (1,5) kana $y^{2}=16x$!

jawab:

$y^{2}-16x=0mangkaasupkeun(1,5)(5)^{2}-16(1)=9>0$ (luar)

ku cara bagi adil

$yy_{1}=2px+2px_{1}$

$5y=8x+8(1)$

$5y=8x+8$

$y={\frac {8}{5}}x+{\frac {8}{5}}$

asupkeun $y^{2}=16x$

$({\frac {8}{5}}x+{\frac {8}{5}})^{2}=16x$

${\frac {64}{25}}x^{2}+{\frac {128}{25}}x+{\frac {64}{25}}-16x=0$

${\frac {64}{25}}x^{2}+{\frac {128}{25}}x+{\frac {64}{25}}-{\frac {400}{25}}x=0$

${\frac {64}{25}}x^{2}-{\frac {272}{25}}x+{\frac {64}{25}}=0$ (dibagi 16/25)

$4x^{2}-17x+4=0$

mangka urang néangan niléy x

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$x={\frac {17\pm {\sqrt {289-256}}}{8}}$

$x={\frac {17\pm {\sqrt {33}}}{8}}$

$x_{1}={\frac {17+{\sqrt {33}}}{8}}$ atawa $x_{2}={\frac {17-{\sqrt {33}}}{8}}$

mangka urang néangan niléy y

pikeun $x_{1}$

$y_{1}={\frac {8}{5}}({\frac {17+{\sqrt {33}}}{8}})+{\frac {8}{5}}$

$y_{1}={\frac {17}{5}}+{\frac {\sqrt {33}}{5}}+{\frac {8}{5}}$

$y_{1}=5+{\frac {\sqrt {33}}{5}}$

jadi $({\frac {17+{\sqrt {33}}}{8}},5+{\frac {\sqrt {33}}{5}})$

pikeun $x_{2}$

$y_{2}={\frac {8}{5}}({\frac {17-{\sqrt {33}}}{8}})+{\frac {8}{5}}$

$y_{2}={\frac {17}{5}}-{\frac {\sqrt {33}}{5}}+{\frac {8}{5}}$

$y_{2}=5-{\frac {\sqrt {33}}{5}}$

jadi $({\frac {17-{\sqrt {33}}}{8}},5-{\frac {\sqrt {33}}{5}})$

balik deui ku cara bagi adil

pikeun pasaruaan toél kahiji

$yy_{1}=2px+2px_{1}$

$(5+{\frac {\sqrt {33}}{5}})y=8x+8({\frac {17+{\sqrt {33}}}{8}})$

$(5+{\frac {\sqrt {33}}{5}})y=8x+17+{\sqrt {33}}$

pikeun pasaruaan toél kadua

$yy_{2}=2px+2px_{2}$

$(5-{\frac {\sqrt {33}}{5}})y=8x+8({\frac {17-{\sqrt {33}}}{8}})$

$(5-{\frac {\sqrt {33}}{5}})y=8x+17-{\sqrt {33}}$

Titik puseur (h,k)

• Tangtukeun pasaruaan gurat toél $y^{2}-6y-8x+9=0$ ngaliwatan pasaruaan anu panceg lempeng $y-2x-5=0$!

jawab: robah jadi bentuk anu basajan

$y^{2}-6y-8x+9=0$

$y^{2}-6y+9=8x$

$(y-3)^{2}=8x$

téangan gradién pasaruaan $y-2x-5=0$

$y-2x-5=0$

$y=2x+5$

gradién ($m_{1}$) = 2 ku sabab panceg lempeng ngajadi $m_{2}=-{\frac {1}{2}}$

téang $p$

$(y-3)^{2}=8x->(y-3)^{2}=4(2x)jadip=2$

$y=-{\frac {1}{2}}x+{\frac {2}{-{\frac {1}{2}}}}->y=-{\frac {1}{2}}x-4$

• Tangtukeun pasaruaan gurat toél $y^{2}-6y-8x+9=0$ anu ordinatna 6!

jawab: robah jadi bentuk anu basajan

$y^{2}-6y-8x+9=0$

$y^{2}-6y+9=8x$

$(y-3)^{2}=8x$

téangan absis anu mana ordinat 6

$(y-3)^{2}=8x$

$(6-3)^{2}=8x$

$9=8x$

$x={\frac {9}{8}}$

ku cara bagi adil

$(y-k)(y_{1}-k)=2px+2px_{1}$

$(y-3)(6-3)=4x+4({\frac {9}{8}})$

$(y-3)3=4x+{\frac {9}{2}}$

$3y-9=4x+{\frac {9}{2}}$

$3y=4x+{\frac {27}{2}}$

$y={\frac {4}{3}}x+{\frac {27}{6}}$

• Tangtukeun pasaruaan gurat toél anu ngaliwatan (1,6) kana $y^{2}-6y-8x+9=0$!

robah jadi bentuk anu basajan

$y^{2}-6y-8x+9=0$

$y^{2}-6y+9=8x$

$(y-3)^{2}=8x$

$(y-3)^{2}-8x=0mangkaasupkeun(1,6)(6-3)^{2}-8(1)=9-8=1>0$ (luar)

ku cara bagi adil

$(y-k)(y_{1}-k)=2px+2px_{1}$

$(y-3)(6-3)=4x+4(1)$

$(y-3)3=4x+4$

$3y-9=4x+4$

$3y=4x+13$

$y={\frac {4}{3}}x+{\frac {13}{3}}$

mangka asupkeun $(y-3)^{2}=8x$

$({\frac {4}{3}}x+{\frac {13}{3}}-3)^{2}=8x$

$({\frac {4}{3}}x+{\frac {4}{3}})^{2}=8x$

${\frac {16}{9}}x^{2}+{\frac {32}{9}}x+{\frac {16}{9}}-8x=0$

${\frac {16}{9}}x^{2}-{\frac {40}{9}}x+{\frac {16}{9}}=0$ (dibagi 8/9)

$2x^{2}+5x+2=0$

mangka urang néangan niléy x

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$x={\frac {5\pm {\sqrt {25-16}}}{4}}$

$x={\frac {5\pm {\sqrt {9}}}{4}}$

$x_{1}={\frac {5+{\sqrt {9}}}{4}}=2$ atau $x_{2}={\frac {5-{\sqrt {9}}}{4}}={\frac {1}{2}}$

mangka urang néangan niléy y

pikeun $x_{1}$

$y_{1}={\frac {4}{3}}(2)+{\frac {13}{3}}={\frac {8}{3}}+{\frac {13}{3}}=7$

jadi $(2,7)$

untuk $x_{2}$

$y_{2}={\frac {4}{3}}({\frac {1}{2}})+{\frac {13}{3}}={\frac {2}{3}}+{\frac {13}{3}}=5$

jadi $({\frac {1}{2}},5)$

balik deui ku cara bagi adil

pikeun pasaruaan toél kahiji

$(y-k)(y_{1}-k)=2px+2px_{1}$

$(y-3)(7-3)=4x+4(2)$

$(y-3)4=4x+8$

$4y-12=4x+8$

$4y=4x+20$ (dibagi 4)

$y=x+5$

pikeun pasaruaan toél kadua

$(y-k)(y_{2}-k)=2px+2px_{2}$

$(y-3)(5-3)=4x+4({\frac {1}{2}})$

$(y-3)2=4x+2$

$2y-6=4x+2$

$2y=4x+8$ (dibagi 2)

$y=2x+4$