Dina matematika, siksikan congcot atawa keureutan congcot nyaéta lokus ti sakabéh titik anu ngabentuk kurva dua-diménsi, anu kabentuk ku siksikan tina hiji congcot ku hiji widang. Tilu jenis kurva anu mungkin bisa kawangun nyaéta Parabola, Élips, jeung Hiperbola. Apollonius ti Perga mangrupa matematikawan Yunani anu munggaran nalungtik siksikan congcot sacara sistematik dina awal abad ka-2 SM.

Jinis pasingan congcot:
1: Bunderan 2: Elips
3: Parabola 4: Hiperbola
Tabél Cylopedia

GéometriÉdit

 
Géometri siksikan congcot jeung jinis-jinisna

Lamun hayang ngarti kana géometri siksikan congcot, hiji congcot dianggap mibanda dua kulit anu ngawentang nepi ka teu kacumpon di dua-dua arah. Hiji generator mangrupa hiji gurat anu bisa dijieun dina kulit congcot, tur kabéh generator silih papotong-potong dina hiji titik anu disebut vértéks congcot.

Jinis-jinis siksikan congcotÉdit

Lamun hiji widang ngeureut congcot sajajar jeung hiji atawa hiji generator wungkul, mangka siksikanna téh parabola. Lamun widang panyiksik sajajar jeung dua generator, mangka siksikannana bakal motong kulit dua-duana jeung ngabentuk hiji hiperbola. Hiji élips kawangun upama widang panyiksikna teu sajajar jeung generator anu mana waé. Bunderan mah kasus husus dina élips, anu kawangun lamun widang panyiksik motong kabéh generator jeung panceg lempeng sumbu congcot.

Kasus dégenerasiÉdit

Kasus-kasus dégenerasi bakal kajadian lamun widang-widang panyiksik ngaliwatan vértéks congcot. Keureutan-keureutanna bisa mangrupa titik, gurat lempeng, jeung dua gurat lempeng anu silih papotong-potong. Hiji titik kacipta lamun widang panyiksik ngaliwatan vértéks congcot namung henteu motong generator-generator acan. Kasus ieu mangrupa élips anu kadégenerasi. Upama widang panyiksik ngaliwatan vértéks congcot, jeung ngan aya hiji generator, mangka anu bakal kajadian nyaéta hiji gurat lempeng, jeung mangrupa parabola anu kadégenerasi. Hiji hiperbola kadégenerasi lamun widang panyiksik ngaliwat kana vértéks congcot jeung dua generator nepikeun méréan dua gurat lempeng anu silih papotong-potong.

Geometri analitisÉdit

Sacara géometri analitis, siksikan congcot bisa diwangenankeun minangka:

perenahna kalungguhan titik-titik dina hiji widang, sakituna, nepikeun jarak titik-titik éta kana hiji titik tetep F (anu disebut fokus) mibanda rasio anu puguh kana jarak titik-titik éta ka hiji gurat tetep L (disebut diréktriks) anu teu ngandung F[1].
 
Ékséntrisitas nyaéta rasio antara FM jeung M'M.Élips (e=1/2), parabola (e=1) jeung hiperbola (e=2) kalawan fokus (F) jeung diréktriks anu angger.

Rasio anu puguh éta disebut ékséntrisitas, dilambangkeun ku e, jeung mangrupa wilangan non-négatip. Pikeun e = 0, siksikan congcot éta téh nyaéta bunderan, 0 < e < 1 hiji élips, e = 1 hiji parabola, jeung e > 1 hiji hiperbola.

Koordinat KartésiusÉdit

Dina koordinat kartésius, grafik tina pasaruaan kuadrat jeung dua variabel osok ngahasilkeun siksikan congcot, jeung kabéh siksikan congcot bisa dihasilkeun maké cara ieu.

Upama nyampak pasaruaan kuadrat anu bentukna:

 

mangka:

  • Lamun h2 = ab, pasaruaan ieu ngahasilkeun parabola.
  • Lamun h2 < ab, pasaruaan ieu ngahasilkeun elips.
  • Lamun h2 > ab, pasaruaan ieu ngahasilkeun hiperbola.
  • Lamun a = b dan h = 0, pasaruaan ieu ngahasilkeun bunderan.
  • Lamun a + b = 0, pasaruaan ieu ngahasilkeun hiperbola pasagi.

Bentuk pasaruaan umumÉdit

Bentuk pasaruaan umum minangka:

 

kacindekan:

  • Lamun A = B = 0 mangka pasaruaanna mangrupa gurat lempeng/linear
  • Lamun A = B = 0 tapi teu duanana mangka pasaruaanna mangrupa parabola/kuadrat
  • Lamun A = B mangka pasaruaanna mangrupa bunderan
  • Lamun A ≠ B jeung tandana positip mangka pasaruaanna mangrupa élips
  • Lamun A ≠ B jeung tandana négatip mangka pasaruaanna mangrupa hiperbola

Saliwat siksikan congcotÉdit

Bunderan
Titik puseur (0,0):  
Titik puseur (h,k):   atawa  

dengan   mangka  

Parabola
Vértikal Horisontal
Titik puseur (0,0)
Pasaruaan    
Sumbu simétri sumbu y sumbu x
Fokus    
Diréktris    
Titik puseur (h,k)
Pasaruaan    
Sumbu simétri    
Fokus    
Diréktris    
Élips
Vértikal Horisontal
Titik puseur (0,0)
Pasaruaan    
Panjang sumbu mayor    
Panjang sumbu minor    
Panjang Latus Réktum    
Fokus    
Puncak    
Diréktris    
Ékséntrisitas    
Titik puseur (h,k)
Pasaruaan    
Panjang sumbu mayor    
Panjang sumbu minor    
Panjang Latus Réktum    
Fokus    
Puncak    
Diréktris    
Ékséntrisitas    

anu mana  

Hiperbola
Vértikal Horisontal
Titik puseur (0,0)
Pasaruaan    
Panjang sumbu mayor    
Panjang sumbu minor    
Panjang Latus Réktum    
Fokus    
Puncak    
Asimtot    
Ékséntrisitas    
Titik puseur (h,k)
Pasaruaan    
Panjang sumbu mayor    
Panjang sumbu minor    
Panjang Latus Rectum    
Fokus    
Puncak    
Asimtot    
Eksentrisitas    

dimana  

Pasaruaan gurat toélÉdit

ngagradién   ( )
Vértikal Horisontal
Titik puseur (0,0)
Bunderan  
Parabola    
Elips    
Hiperbola    
Titik puseur (h,k)
Bunderan  
Parabala    
Élips    
Hiperbola    
Lamun pasaruaan gurat lempeng ngagradién sajajar mangka  
Lamun pasaruaan gurat lempeng ngagradién panceg lempeng mangka  
ngaliwatan titik  

ku cara bagi adil

Vertikal Horisontal
Titik puseur (0,0)
Bunderan  
Parabola    
Élips    
Hiperbola    
Titik puseur (h,k)
Bunderan   atawa
 
Parabola    
Élips    
Hiperbola    
Lamun titik   nyampak di jero bentukna mangka aya 1 pasaruaan gurat toél (1 léngkah).
Lamun titik   nyampak di luar bentukna mangka aya 2 pasaruaan gurat toél (2 léngkah).

Conto:

Titik puseur (0,0)
  • Tangtukeun pasaruaan gurat toél anu ngagradién 2 kana  !

jawab:

 
 
  • Tangtukeun pasaruaan gurat toél anu ngaliwatan (4,8) kana  !

jawab:

  (jero)

ku cara bagi adil

 
 
  (dibagi 8)
 
  • Tangtukeun pasaruaan gurat toél anu ngaliwatan (1,5) kana  !

jawab:

  (luar)

ku cara bagi adil

 
 
 
 

asupkeun  

 
 
 
  (dibagi 16/25)
 

mangka urang néangan niléy x

 
 
 
  atawa  

mangka urang néangan niléy y

pikeun  
 
 
 

jadi  

pikeun  
 
 
 

jadi  

balik deui ku cara bagi adil

pikeun pasaruaan toél kahiji
 
 
 
pikeun pasaruaan toél kadua
 
 
 
Titik puseur (h,k)
  • Tangtukeun pasaruaan gurat toél   ngaliwatan pasaruaan anu panceg lempeng  !

jawab: robah jadi bentuk anu basajan

 
 
 

téangan gradién pasaruaan  

 
 

gradién ( ) = 2 ku sabab panceg lempeng ngajadi  

téang  

 
 
  • Tangtukeun pasaruaan gurat toél   anu ordinatna 6!

jawab: robah jadi bentuk anu basajan

 
 
 

téangan absis anu mana ordinat 6

 
 
 
 

ku cara bagi adil

 
 
 
 
 
 
  • Tangtukeun pasaruaan gurat toél anu ngaliwatan (1,6) kana  !

robah jadi bentuk anu basajan

 
 
 
  (luar)

ku cara bagi adil

 
 
 
 
 
 

mangka asupkeun  

 
 
 
  (dibagi 8/9)
 

mangka urang néangan niléy x

 
 
 
  atau  

mangka urang néangan niléy y

pikeun  
 

jadi  

untuk  
 

jadi  

balik deui ku cara bagi adil

pikeun pasaruaan toél kahiji
 
 
 
 
  (dibagi 4)
 
pikeun pasaruaan toél kadua
 
 
 
 
  (dibagi 2)
 

RujukanÉdit

  1. Leithold, Louis (1981). "13". The Calculus with Analytic Geometry. New York: Harper & Row, Publisher, Inc. pp. 657. ISBN 0-06-043935-1.