Varian

Artikel ieu ngeunaan matematik. Tempo ogé variance (land use).

---

Dina tiori probabiliti sarta statistik, varian tina variabel acak mangrupa ukuran tina statistical dispersion, nu nembongkeun sabaraha jauh tina nilai ekspektasi nu dijelaskeun di dieu. Varian nilai-real variabel acak mangrupa momen mean nu kadua, ogé cumulant nu kadua (cumulants béda jeung central moments ngan dina tingkat 4 atawa saluhureunna).

Harti

Lamun μ = E(X) mangrupa nilai ekspektasi tina variabel acak X, mangka varian nyaéta

$\operatorname {var} (X)=\sigma ^{2}=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}),$

contona, varian mangrupa nilai ekspektasi kuadrat simpangan X tina méan-na sorangan. Jadi varian mangrupa simpangan mean kuadrat. Varian variabel randomX dituliskeun minangka var(X).

Catetan loba sebaran, saperti sebaran Cauchy, teu ngabogaan varian sabab nyimpang tina integral. Dina hal séjén, lamun sebaran teu ngabogaan nilai ekspektasi, mangka teu ngabogaan varian oge. Hal nu teu bener: sebaran ngabogaan nilai ekspektasi tapi teu ngabogaan varian.

Sipat

Lamun varian dihartikeun, bisa disimpulkeun yén varian teu pernah negatip sabab kuadrat bakal positip atawa nol. Lamun métodeu keur ngitung varian hasilna negatip, geus tangtu aya kasalahan, ilaharna dina nangtukeun algoritma. Satuan varian nyaéta kuadrat tina satuan sebaran. Mangka, varian tina susunan ukuran jangkung dina sentiméter nyaéta sentiméter kuadrat. Kanyataan ieu kurang méré nah sarta statistikawan leuwih ilahar ngagunakeun akar varian, simpangan baku sarta ngagunakeun ieu nilai minangka kasimpulan dispersi.

Ieu bisa dibuktikeun sacara gampang tina harti yén varian moal gumantung kana nilai méan $\mu$. Dina hal ieu, lamun variabel "disimpen" antara b jadi X+b, varian hasil variabel random beulah kénca teu kacekel. Sacara jelas, lamun variabel dikalikeun ku faktor skala a, varian mangrupa hasil kali nyaéta a². Sacara resmi, lamun a jeung b mangrupa konstanta riil sarta X mangrupa variabel acak mangka varian dihartikeun ku,

$\operatorname {var} (aX+b)=a^{2}\operatorname {var} (X)$

Formula séjén keur varian saperti dina garis lurus nu dumasar kana harti di luhur nyaéta:

$\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}.$

Ieu mangrupa rumus nu geus ilahar dipaké keur ngitung varian dina kaperluan praktis.

Salah sahiji alesan varian leuwih sering dipaké tinimbang ukuran dispersi séjénna nyaéta yén varian jumlah variabel acak bébas sarua jeung jumlah varian-na. (Kaayaan nu leuwih lemah tinimbang bébas, disebutna "uncorrelatedness" atawa taya hubungan). Sacara umum,

$\operatorname {var} (X+Y)=\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} (Y)+2\operatorname {cov} (X,Y).$

Di dieu $\operatorname {cov}$ nyaéta kovarian, sarua jeung nol keur variabel nu taya hubungan.

Populasi varian jeung sampel varian

Dina statistik, konsép varian ogé digunakeun keur ngajelaskeun susunan data. Waktu susunan data mangrupa populasi, mangka disebut populasi varian. Waktu susunan data mangrupa sample, mangka disebutna sampel varian.

Populasi varian tina populasi y_i di mana i = 1, 2, ..., N dirumuskeun ku

$\sigma ^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(y_{i}-\mu \right)^{2},$

di mana $\mu$ mangrupa populasi méan. Dina prakték, waktu kaayaan populasi gedé, geus ilahar yén teu mungkin manggihkeun nilai populasi varian nu pasti, sabab kawengku ku waktu, béaya jeung sumber séjénna.

métodeu nu geus ilahar dipaké keur estimasi populasi varian nyaéta sampling. Waktu estimasi populasi varian ngagunakeun n random samples x_i di mana i = 1, 2, ..., n, nuturkeun rumus di handap ieu mangrupa unbiased estimator:

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2},$

di mana ${\overline {x}}$ mangrupa sampel méan.

Catetan yén n-1 dina pembagi di luhur jelas béda jeung persamaan keur ngitung populasi varian. Sumber nu geus ilahar ngabingungkeun nyaéta watesan sampel varian jeung notasi s² bisa jadi nempo kana unbiased éstimator séjén tina populasi varian nu dirumuskeun di luhur, sarta kumaha cara mastikeun varian tina sampel, diitung ku n tinimbang n-1.

Sacara rasa, ngitung varian ku ngabagi maké n tinimbang n-1 méré hasil populasi varian underestimate. Hal ieu sabab urang ngagunakeun sampel méan ${\overline {x}}$ keur estimasu populasi méan $\mu$, nu teu dipikanyaho. Dina prakten, keur n nu gedé, bédana salawasna kurang ti hiji.

Tempo ogé algoritma keur ngitung varian.

Generalisasi

Lamun X mangrupa nilai-vector- variabel random, nu mibanda nilai dinaRⁿ, sarta dipinkanyaho minangka vektor kolom, mangka generalisasi sacara alami tina varian nyaéta E((X − μ)(X − μ)′), nu mana μ = E(X) sarta X ′ mangrupa transpos X, sarta jadi vektor baris. Varian ieu mangrupa nonnegative-definite matriks kuadrat, umumna dianggap minangka covariance matrix.

Lamun X mangrupa nilai-kompleks variabel random, mangka varian nyaéta E((X − μ)(X − μ)^*), nu mana X^* mangrupa complex conjugate X. Varian ieu mangrupa angka riil nonnegative.

Sajarah

Watesan varian mimiti dikenalkeun ku Ronald Fisher taun 1918 dina paper-na The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance

Tempo oge

• an inequality on location and scale parameters
• nilai ekspektasi
• kurtosis
• law of total variance
• skewness
• semivariance
• simpangan baku
• statistical dispersion
• true variance

Rujukan

Wikipedia Basa Inggris

Tumbu kaluar

• Fisher's original paper Archived 2005-12-13 di Wayback Machine (pdf format)